Немислимата бутилка на Клайн

Мечтата на средновековния алхимик е мистичен съвършен херметичен съд, където външното преминава във вътрешно и вътрешното – във външно, който съдържа сам себе си и преминава сам в себе си, при който вътрешното и външното са парадоксално едно…

Всичко това напомня змия, уроборос, захапал опашката си.

Оказва се, че съществува такъв парадоксален обект и това е бутилката на Клайн.

Портрет на Феликс Клайн. © Max Liebermann, Mathematischen Institut der Universität Göttingen

Първото споменаване за нея се появило през 1882 г., а автор бил немският математик Феликс Клайн (Felix Klein), създател на ново направление в геометрията. Клайн е роден на 25 април 1849 година.

Първото название на бутилката на Клайн е „Klein Fla-e-che“ (Fläche = повърхност), повърхност на Клайн. Но в названието думата Fläche била интерпретирана като Fla-s-che (бутилка) и поради доминирането на английския език се утвърдило в математическата наука, а по-късно терминът „бутилка на Клайн“ също влязъл в употреба в Германия.

Векове думата „геометрия“ се употребявала в единствено число. Но ето че се появила геометрия на Лобачевски, след това – геометрия на Риман и накрая математиците разбрали, че съществуват много различни геометрии.

Възникнал и естественият въпрос: какво е геометрия? През 1872 година Клайн изказал своята гледна точка на лекции, четени от него във връзка с встъпването му в професорска длъжност в Ерланген. Така се появила „Ерлангенската програма“. Тя привличала вниманието на математиците от цяла Европа с това, че не само давала нова представа за предмета геометрия, но и набелязвала ясна перспектива за бъдещи изследвания.

С това да приключим обяснителната част и да преминем към нещо по-интересно, свързано с името на Клайн – бутилката на Клайн.

От гледна точка на математиката бутилката на Клайн е затворена едностранна повърхност.

А от гледна точка на физиката? Как да си представим на какво прилича поразителната бутилка в реалността?

Да допуснем, че имаме бутилка с много дълго гърло, в стената и в дъното на бутилката има отвори, съответстващи на размера на гърлото. Вземаме бутилката за гърлото, огъваме го, пъхваме го през страничния отвор и го изтегляме до отвора в дъното на бутилката, след което ги залепяме. Ето че се получи!

Къде е началото и къде – краят, е невъзможно да се каже…

Такава бутилка няма край и нейната повърхност не може да се раздели на външна и вътрешна.

Помните ли листа на Мьобиус и пълзящата по него мравка? Пътешествието на тази мравка по повърхността на бутилката на Клайн също се превръща в безкрайност. Няма да ѝ се налага да преминава от външната страна на бутилката във вътрешната – тя е единствена. Истинската бутилка на Клайн в четириизмерно пространство не се пресича сама със себе си.

За разлика от реалните бутилки повърхността на бутилката на Клайн няма граници, където да се прекъсва. За разлика от топка или тор мухата, пълзяща по повърхността на бутилката на Клайн, може да попадне от външната страна във вътрешната, без за преминава през повърхността.

Ако разделим бутилката по вертикалната симетрична ос, то ще получим два листа на Мьобиус.

Бутилка на Клайн, представена чрез лист на Мьобиус. Wikimedia Commons

Но е интересно, че с един затворен разрез бутилката на Клайн може да се превърне само в един лист на Мьобиус.

А ето нагледен 3D модел на бутилката на Клайн.

э

Ето пространственото преобразуване на този обект.

А ако имате нужда от малко повече обяснения и математика, можете да надникнете в Уикипедия.