Красотата на повторението: фракталите
Последно: 5 септември 2014 г. в 09:59
Какво е общото между дървото, морския бряг, облака или кръвоносните съдове в нашите ръце?
На пръв поглед може да изглежда, че нищо не ги обединява. Но всъщност съществува едно свойство на структурата, присъщо на всички изброени неща – те са самоподобни.
От клонките, както и от ствола на дървото, излизат израстъци, от тях – още по-малки, и т.н., тоест клонката е подобна на цялото дърво.
По подобен начин е устроена и кръвоносната система – от артериите излизат артериоли, а от тях – малки капиляри, по които кислородът постъпва в органите и тъканите.
Да погледнем космическите снимки на морското крайбрежие – ще видим заливи и полуострови; но ако го погледнем от височината на птичи полет, ще видим заливи и плажове.
Сега да си представим, че стоим на плажа и гледаме в краката си – винаги ще се намерят камъчета, които излизат по-напред от водата в сравнение с останалите. Тоест бреговата линия при увеличение на мащаба остава подобна на самата себе си.
Това свойство на обектите американският (отраснал във Франция) математик Беноа Манделброт е нарекъл фракталност, а самите обекти – фрактали (от латинското fractus – разбит).
Фракталите са известни вече почти век, добре изучени и имат многобройни приложения в живота.
В основата на това явление лежи много проста идея – безкрайното по красота и разнообразие множество фигури може да се получи от сравнително прости конструкции само с две операции – копиране и мащабиране.
Геометрия и алгебра
Изучаването на фракталите на границата на XIX и XX век е носило по-скоро епизодичен, отколкото систематичен характер, защото преди математиците основно изучавали „добри“ обекти, които се подлагали на изследване с общи методи и теории.
През 1872 г. немският математик Карл Вайерщрас строи пример на непрекъсната функция, която никъде не е диференцируема. Но това построяване било като цяло абстрактно и трудно за възприятие.
Затова през 1904 г. Хелге фон Кох измислил непрекъсната крива, която никъде няма допирателна, освен това тя лесно се рисува. Оказало се, че тя притежава свойствата на фрактала. Един от вариантите на тази крива носи името „снежинка на Кох“.
Идеята на самоподобието на фигурите подхванал французинът Пол Пиер Леви, бъдещ наставник на Беноа Манделброт. През 1938 година излязла неговата статия „Плоски и пространствени криви и повърхности, състоящи се от части, подобни на цялото“, в която е описан още един фрактал – С-кривата на Леви. Всички тези споменати фрактали може условно да се отнесат към един клас конструктивни (геометрични) фрактали.
Друг клас са динамичните (алгебрични) фрактали, към които се отнася и множеството на Манделброт. Първите изследвания в това направление започнали в началото на ХХ век и са свързани с имената на френските математици Гастон Жулиа и Пиер Фату.
През 1918 г. излязъл почти 200-страничен мемоар на Жулиа, посветен на итерациите на комплексни рационални функции, в който са описани множествата на Жулиа – цяло семейство фрактали, близко свързани с множеството на Манделброт. Този труд бил удостоен с наградата на Френската академия, но в него не се съдържала нито една илюстрация, така че било невъзможно да се оцени красотата на откритите обекти.
Независимо че тази работа прославила Жулиа сред математиците от онова време, за нея забравили доста бързо. Отново вниманието към нея се обърнало едва половин век по-късно с появата на компютрите – именно те направили видими богатството и красотата на света на фракталите.
Наука и изкуство
През 1982 година излязла книгата на Манделброт „Фрактална геометрия на природата“ в която авторът събрал и систематизирал практически цялата налична до този момент информация за фракталите и в лек и достъпен стил я изложил.
Основен акцент в изложението си Манделброт поставил не върху тежките формули и математическите конструкции, а на геометричната интуиция на читателите. Благодарение на илюстрациите, получени с компютри, и историческите разкази, с които авторът умело преплитал научната компонента на монографията, книгата станала бестселър, а фракталите станали известни на широката публика.
Техният успех сред нематематиците в голяма степен се дължи на това, че с помощта на доста прости конструкции и формули, които е способен да разбере и ученик, се получават удивителни по сложност и красота изображения.
Когато персоналните компютри станали достатъчно мощни, се появило дори цяло течение в изкуството – фрактална живопис, с която може да се занимава практически всеки владетел на компютър. Сега в интернет може лесно да се открият множество сайтове, посветени на тази тема.
Война и мир
Както беше отбелязано по-горе, един от природните обекти с фрактални свойства е бреговата линия. С нея, а по-точно с опита да се измери нейната дължина, е свързана една интересна история, която е залегнала в основата на научната статия на Манделброт и е описана в неговата книга „Фракталната геометрия на природата“.
Става дума за експеримент на Луис Ричардсън –доста талантлив и ексцентричен математик, физик и метеоролог. Една от насоките на неговите изследвания бил опитът да открие математическо описание на причините и вероятностите за възникване на въоръжен конфликт между две страни.
Сред параметрите, които той отчитал, била дължината на общата граница между двете враждуващи страни. Когато той събрал данни за изчислителните експерименти, открил, че в различни източници данните за общата граница между Испания и Португалия силно се различават.
Това го навело на следното откритие: дължината на границата на страните зависи от линиите, с които ги измерваме. Колкото по-малък е мащабът, толкова по-дълга се получава границата. Причината е, че при голямо увеличение става възможно да се отчитат все нови и нови извивки на брега, които преди се игнорирали поради грубостта на измерването.
И ако при всяко увеличение на мащаба се откриват неотчетени преди извивки, то се получава, че дължината на границата е безкрайна.
Вярно, всъщност това не се случва – точността на нашите измервания има краен предел. Този парадокс се нарича ефект на Ричардсън.
Конструктивни (геометрични) фрактали
Алгоритъмът за построяване на конструктивен фрактал в общия случай е такъв. Преди всичко са ни необходими две подходящи геометрични фигури, да ги наречем основа и фрагмент. На първия етап се изобразява основата на бъдещия фрактал. След това някои от неговите части се заменят с фрагмента, взет в подходящ мащаб – това е първата итерация (повторение на даден процес) на построяването.
След това някои части на получената фигура отново се сменят с фигури, подобни на фрагмента, и т.н. Ако продължим този процес до безкрайност, то в рамките на ограничението получаваме фрактал.
Да разгледаме този процес с пример кривата на Кох. За основа на кривата на Кох можем да вземем всяка крива (за „снежинката на Кох“ това е триъгълник). Но ние ще се ограничим с прост случай – отрязък.
Фрагментът е триъгълникът, показан на анимацията. След първата итерация на алгоритъма в дадения случай изходният отрязък съвпада с фрагмента, след това всеки от съставляващите го отрязъци сам се заменя с пречупена, подобна на фрагмента, и т.н. На анимацията са показани стъпките на този процес.
Фракталите и животът
В наши дни теорията на фракталите намира широко приложение в различни области от човешката дейност. Освен чисто научния обект за изследване и вече споменатата фрактална живопис, фракталите се използват в теорията на информацията за свиване на географски данни (тук основно се прилага свойството на самоподобие на фракталите – за да се запомни малък фрагмент от рисунката и преобразуването, с помощта на които може да се получат останалите части, се изисква доста по-малко памет, отколкото за съхраняване на целия файл).
Добавяйки във формулите, задаващи фрактала, случайни смущения, може да се получат стохастични фрактали, които доста правдоподобно предават някои реални обекти – елементи от релефа, повърхността на водоемите, някои растения, което с успех се прилага във физиката, географията и компютърната графика за постигане на по-голямо сходство на моделираните обекти с истинските.
В радиоелектрониката през последното десетилетие започнаха да произвеждат антени с фрактална форма. Заемайки малко място, те осигуряват напълно качествен прием на сигнала. Икономистите използват фракталите за описание на кривите на колебание на курсовете на валутите (това свойство е открито от Манделброт преди повече от 30 години).
С това завършваме тази малка екскурзия в чудния по красота и разнообразие свят на фракталите.
