Студентът Александър Клотц от университета „Макгил“ (Канада) е изчислил времето на падане на тяло до центъра на Земята през тунел.
Обикновено в тази класическа задача плътността на Земята се приема за еднородна, а Клотц взел реалната плътност, която се променя от повърхността към ядрото, и вместо обичайните 42 минути получил 38 минути.
Решението на задачата е публикувано в изданието The American Journal of Physics, а по-популярно е описано в изданието Science.
Да си представим тунел, прокаран през Земята и минаващ през нейния център. Ние стоим на повърхността на Земята на края на тунела и хвърляме в него тяло. То свободно пада надолу. Въпросът е, колко време ще отнеме полетът на тялото до центъра на Земята?
Такава задача обикновено студентите решават на изпити. Решението изисква знание на законите на Нютон и уравненията на движение. В процеса на решение трябва да се изчисли как се променя силата на гравитацията (и ускорението на свободното падане) за обект, който пада през тунел.
В най-простия случай Земята се разглежда като билярдна топка с еднородна плътност около 5500 кг/м3. В Този случай с приближаването към центъра на Земята се изменя и силата на гравитацията, която действа върху него. Това се случва, тъй като количеството земна маса под и над положението на тялото в тунела се различава.
Тук се използва една доказана от Нютон теорема, според която земната гравитация намалява от повърхността към центъра и в самия център изчезва напълно. Прелитайки през центъра на Земята, тялото ще падне по-далече – към другата страна на тунела, и достигайки противоположния му край, ще падне обратно. Така то извършва колебания по тунела като махало.
Александър Клотц направил нещо просто – той взел реалната плътност на планетата, която не е еднаква в различните ѝ части и слоеве. Земната кора и мантията са по-малко плътни от ядрото. Реалното разпределение на масите Клотц взел от Preliminary Reference Earth model, построен от сеизмични данни. Този модел дава плътност на повърхността на Земята под 1000 кг/м3 и около 13 000 кг/м3 – в центъра на ядрото. Разстоянието от повърхността да центъра на Земята е равно на 6371 км.
Като отчел тези условия, Клотц изчислил, че тялото ще пада по тунела до центъра на планетата за 38 минути и 11 секунди. За сравнение времето на падане в задачата със Земя с еднородна плътност е 42 минути и 12 секунди.
